一道“硬”用物理解决的几何题

昨天我突发奇想的想到了一种用几何光学来证明某些几何题的变态方法。
（感谢Fishy给我的灵感，她问了我一道物理作图题，原题是给一个物体和它的虚像，做出凸透镜和主光轴。）

这是一道我暂时没想到几何证法的几何题：

有四点ABCD，连AC、BD交于O，延长BA、CD交于E，过O作EO垂线l，过A、B作AP、BQ平行于l分别交直线OE于P、Q，求证PC、QD、l三线共点。(假设直线AB、DC不平行，且交点在A、D侧)

事实上，这个图就是已知物体AB和像CD，画出了透镜k和主光轴l。

已知物体AB在凸透镜中成实像CD，可根据两条光线AC、BD画出光心O。设想有一光线穿过物体AB，也必然穿过像CD，因而这条光线在直线AB、CD相交处被折射了（假设讨论的是薄透镜）。因而我们得到了透镜上的两点，确定透镜所在直线EO，以及主光轴k。显然两条平行于主光轴的两条入射光AP和BQ会相交于主光轴上的焦点f。因此PC、QD、l共线，命题得证。

2010 年 02 月 10 日

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